Turunan dan penggunanan


A. Maksimum dan Minimum

Andaikan kita mengetahui fungsi f dan domain (daerah asal) S.

Yang pertama dilakukan adalah menentukan apakah f memiliki nilai maks atau nilai min pada S.Anggaplah bahwa nilai-nilai itu ada. Setelah itu baru kita dapat menentukan nilai-nilai maks dan min.

Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimum dan minimum

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakana bahwa:

f(c) adalah nilai maksium f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S;

f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;

f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimim atau nilai minimum

Teorema A

(Teorema Eksistensi Maksimum dan minimum).

Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], ,maka f mencapai nilai maksimum dan minimum.

Biasanya fungsi yang ingin di maksimumkan dan di minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai daerah asalnya. Dari beberapa selang itu memuat
titik-titik ujung dan beberapa tidak.

Misalnya, I = [a,b] memuat titik ujung keduanya

I = (a,b) hanya memuat titik ujung kiri

I = (a,b) tidak memuat titik ujung satupun

Jika c sebuah titik dimana f’(c) = 0, maka kita sebut c titik stasioner yang berarti bahwa pada titik stasioner, grafik f mendatar, karena garis singgung mendatar. Nilai-nilai ekstrim seringkali terjadi pada titik-titik stasioner.

Dan jika c adalah titik dalam dari I dimana f’ tidak ada, maka kita sebut c titik singular. Ini merupakan titik dimana grafik f mempunyai sudut tajam, garis singgung vertikal, atau mungkin berupa lompatan ( di dekatnya goyang). Nilai-nilai ekstrim dapat terjadi pada titik-titik singular walaupun jarang ditemui.


Torema B

(Teorema Titik kritis)

Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. JIka f(c) adalh titik ekstrim, maka haruslah suatu titik kritis;yakni c berupa salah satu:

Titik ujung dari I

Titik stasioner dari f(f’(c)=0);

Titik singular dari f(f’(c)tidak ada)

Titik kritis (Titik ujung, Titik stasioner dan Titik singular) merupakan titik kinci dari teori maksimum dan minimum

Contoh 1

1.Carilah nilai-nilai maksimum dan minimum dari –x2+4x-1 pada I= [0,3]

Penyelesaian :

F(x)= –x2+4x-1

F’(x)= -2x+4

F’(x)=0

Maka x = 2. Jadi I = [0,2,3]

Di peroleh titik kritis 0,2,3

F(0)= -1 nilai minimum

F(2)= 3 nilai maksimum

F(3)= 2

B. Kemonotonan dan Kecekungan

Penggunaan turunan dalam menentukan kemotonan dan kecekungan

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka, tertutup,atau tak satupun). Kita katakana bahwa:

f adalah naik pada I jika uintuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

x1 < x2 → f(x1) < f(x2)

f adalah turunan pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I, x1 < x2 → f(x1) > f(x2)

Cara menentukan bahwa fungsi itu naik atau turun, kita bisa menggambar grafiknya dan menghubungkan titik-titik tersebut dengan suatu kurva.



* Turunan Pertama dan Kemonotonan

Bisa diingat kembali bahwa turunan pertama f’(x) memberi kemiringan dari garis singgung pada grafik f di titik x. Kemudian jika f’(x)>0 maka garis singgung naik ke kanan. Dan jika f’(x)<0 maka garis singgung jatuh ke kanan.


Teorema A

(Teorema kemonotonan )

Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat di ddiferensialkan pada setiap titik dalam dari I.

JIka f’(x) > 0 untuk setiap titik dalam x dari I, maka f naik pada I,

Jika f ‘(x) > 0 untuk setiap titik dalam x dari I, maka f naik pada I,

*Turunan Kedua dan Kecekungan

Sebuah fungsi mungkin naik dan tetap mempunyai grafik yang goyang. Untuk menganalisis goyangnya suatu grafik, kita perlu mempelajari bagaimana garis singgung berliku saat kita bergerak sepanjang grafik dari kiri ke kanan. Jika garis singgung berliku secara tetap berlawanan arah putaran jarum jam, dapat dikatakan bahwa grafik cekung ke atas. Dan jika garis singgung berliku searah putaran jarum jam maka grafik cekung ke bawah.

Definisi

Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I = (a,b). Jika f’ naik pada I, f (dan grafiknya) cekung ke atas ; dan jika f’ turun pada I, f cekung ke bawah pada I.

Teorema B

(Teorema kecekungan)

Andaikan f dapat diturunkan dua kali interval buka I yang memuat titik kritis c dimana f’(c)=0. maka:

Jika f”(x) >0 pada I, maka f(c) merupakan nilai minimum dari f(x) pada I

Jika f”(x) <0 pada I, maka f(c) merupakan nilai maksimum dari f(x) pada I

Contoh 2

Jika terdapat fungsi f = 1/3x3-2x2+4x-16

Cari dimana f naik dan dimana turun

Cari dimana f cekung ke atas dan dimana cekung ke bawah

Penyelesaian


f(x) = 1/3x3-2x2+4x-16

f’(x)= x2-4x+4 (-) (+)

(x-2)(x-2)

x > 2 2

Jadi f(x)= 1/3x3-2x2+4x-16 turun pada

(-∞,2] dan naik pada [2,∞)

b) f’(x)= x2-4x+4

f’’(x)= 2x-4

f’’ (x)= 02(x-2) x>2 Jadi fungsi 1/3x3-2x2+4x-16

f (x)= cekung bawah di (- ∞,2]dan cekung atas [2,∞)


C. Maksimum dan Minimum Lokal

Penggunaan Turunan dalam menentukan nilai maksimim dan minimum lokal

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :

f(c) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f(c) adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S;

f(c) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga F(c) adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S ;

f(c) nilai ekstrim local f jika ia beruapa nilai maksimum local atau minimum local



.Teorema A


(Uji turunan pertama untuk setiap ekstrim local )

Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum local f.

Jika f’(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x) >0 untuk semua x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilai maksimum local f.

Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ekstrim local f.

Teorema B

(Uji turunan kedua untuk ekstrim local)

Andaikan f’ dan f” ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0.;

Jika f”(c) < 0, f(c) adalah nilai maksimum local f.

Jika f”(c) > 0, f(c) adalah nilai minimum local f.

Contoh 3

Tentukan nilai ekstrim local dari f (x)= x2+3x-2 pada (-∞,∞)

Penyelesaian

f (x)= x2+3x-2

f’(x)= 2x+3

f’(x) = 0

x = -3/2

f (x)= x2+3x-2

f (-3/2)= (-3/2)2+3(-3/2)-2

= -17/4 = -4⅟4

Jadi minimum local adalah -4⅟4 ketika x= -3/2

D.Lebih banyak masalah maksimum dan minimum

Dalam mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi adalah dengan himpunan yang berupa selang tertutup. Namun dalam prakteknya, himpunan yang muncul tidak selalu berupa saelang tertutup. Kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka, setengah tertutup.

Contoh 4

Sebuah lukisan memuat 60 cm persegi kanvas. Bingkai di atas dan di bawah selebar 3 cm dan di samping kiri dan kanan selembar 2 cm. Berapa ukuran lukisan tersebut agar meminimalisasikan kanvas tersebut ?

llllll

A= xy ( ket A= Luas)

(x-4) dan (y-6) dan luasnya 60

(x-4)(y-6)=60

y= 60/ (x-4)+6

A= xy

= x. (60/(x-4)+ 6)

=60x + 6x / x-4

=60x / x-4 + 6x2-24x / x-4

4<x<∞ , agar A minimum pada selang terbuka (4,∞)

dA/dx= 60x + 6x / x-4

= 60 (x-4)- 60x + 6 / (x-4)2

=60x – 240-60x +6(x2-8x+16) / (x-4)2

= – 240 +6x2 – 48x +96 / (x-4)2

= 6x2 -48x- 144 / (x-4)2

= 6(x2-8x-24)/ (x-4)2

X1,2 = -b±√b2-4ac / 2a

= 8±√64-4(1)(-24) / 2

= 8±√64+96/ 2

= 8±√160 / 2

= 8±4√10 /2

=4± 2√10
y= 60 / 4+2√10 + 6

= 9,5 + 6

= 15,5

(x-4)(x-6)

[(4 + 2√10)- 4][15,5 – 6]

= 6,32 . 9,5

= 60 cm

E.Penerapan Ekonomik

Dalam kehidupan sehari-hari banyak masalah-masalah yang berkaitan dengan penentuan nilai maksimum dan minimum. Misalnya dalam bidang ekonomi contohnya dalam mencari keuntungan (laba) maksimum serta mencari biaya produksi minimum.

Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni sisih anatara pendapatan dan biaya.

Contoh 5

Suatu pabrik permen memproduksi suatu jenis permen rasa mint dengan harga Rp500,- per unit. Jika banyaknya produksi x unit, biaya totalnya 6.000.000+20x+0,004x2, berapa unitkah produk yang harus dijual agar mendapatkan keuntungan maksimum?

Penyelesaian

Pendapatan total=500x

Biaya total 6.000.000+20x+0,004x2

Misalnya keuntungan L9x)=500x-(6.000.000+20x+0,004x2)

Keuntungan akan maksimum jika L’(x)=0

L’(x)=0 ↔ 480-0,008x=0

↔ 0,008x=480

↔x= 60.000

Untuk x=60.000, unit keuntungan yang diperoleh oleh pabrik permen adalah

L(60.000) = 500.60.000-6.000.000+20.(60.000)-0,004.(60.000)2

=30.000.000-6.000.000-1.200.000-14.400.000

=8.400.000

Jadi, keuntungan maksimum diperoleh ketika barang produksinya terjual 60.000 unit dan keuntungan maksimum sebesar Rp 8.400.000,00

F.Limit di Ketakhinggaan, Limit tak terhingga

Definisi

(Limit bila x→ ∞)

Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangn c.

Kita katakan bahwa lim f(x)=L jika untuk masing-masing є >0, terdapat bilangan M yang

x→∞

berpadanan sedemikian sehingga

x> M→‌‌‌ ‌‌│f(x)-L │< є

Definisi

(Limit bila x→ ∞)

Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk suatu bilangn c.

Kita katakan bahwa lim f(x)=L jika untuk masing-masing є >0, terdapat bilangan M yang

x→-∞

berpadanan sedemikian sehingga

x< M→‌‌‌ ‌‌│f(x)-L │< є

Definisi

{limit – limit tak terhingga }.

Kita katakan bahwa lim f{x}=∞ jika untuk tiap bilangan positif M, berpadanan suatu ∂ >0

x→c+

sedemikian sehingga 0 < x-c < ∂ → f(x)>M

limit-d-ktakhinggaan1

Contoh 6

lim x + 2 / x2-10x+21

x→ 3+

lim x + 2 / (x-7) (x-3

x→ 3+

Sehingga x 3+,bisa dilihat bahwa x + 2 5, dan x – 7 – 4 dan x – 3 0+

Jadi pembilang mendekati 3, tetapi penyebutnya adalah negatif dan mendekati 0.

Maka

lim x + 2 / x2-10x+21 =- ∞

x→ 3+

G.Penggambaran grafik canggih

Kalkulus menyediakan alat ampuh untuk menganalisis struktur grafik secara baik, khususnya dalam mengenali titik-titik tempat terjadinya perubahan cirri-ciri grafik. Kita dapat menempatkan titik-titik maksimum local, titik-titik minimum local, dan titik-titik balik; kita dapat menentukan secara persis di mana grafik naik atau dimana cekung ke atas.

Prosedur dalam menggambar graik fungsi:

Langkah 1 Buat analisis pendahuluan segai berikut:

Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi untuk melihat apakah ada daerah bidang yang dikecualikan
Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau ganjil)

Cari perpotongan dengan subu-sun\mbu koordinat

Gunakan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk mengetahui tempat-tempat grafik naik dan turun

Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local

Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung ke atas dan cekung ke bawahdan untuk melokasikan titik-titik balik

Cari asimtot-asimtot

Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan balik)

Langkah 3 Sketsakan grafik

Contoh 7

cari grafik f (x)= 2x3-3x2-12x+5

Penyelesaian

f (x)=2x3-3x2-12x+5

f’(x)=6x2-6x-2 = 6 (x2-x-2) = 6 (x+1)(x-2) ,x= -1 , x= 2

f”(x)=12x-6 = 12(x-1/2) ,x=2

fungsi f =2x3-3x2-12x+5 naik pada (- ~, – 1] dan [2,∞) serta turun pada [-1,2]

fungsi f (x)=2 x3-3x2-12x+5 cekung bawah di (- ~,1/2} dan cekung atas [1/2,~)

f’(-1)=0 dan f’(2)=0

f(-1)=2.(-1)3-3.(-1)2-12(-1)+5

=-2-3+12+5

= 12

F(2)= 2(2)3-3(2)2-12(2)+5

= 16-12-24+5

=-15

Jadi menurut uji turunan pertama f(-1)=12 merupakan nilai maksimum local dan f(2)=-15 merupakan nilai minimum local

f”(1/2)=0

f(1/2) =2(1/2)3-3(1/2)2-12(1/2)+5

=1/4 – ¾ – 6 + 5

= -3/2

Jadi menurut uji turunan kedua f(1/2)= -3/2 merupakan nilai minimum local

H.Teorema nilai rata-rata

Teorema A

(Teorema nilai rata-rata untuk turunan).

Jika f kontinu padad selang tertutup (a,b) dan terdefinisi pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana

f (b) – f (a)/b-a = f'(c)

atau secara setara dimana

f(b)-f(a)=f’(c) (b-a)

Teorema B

Jika F’(x) = G’(x) untuik semua x dalam (a,b), maka terdapat konstsnta C sedemikian sehingga

F(x)=G(x)+C

Untuk semua x dalam (a,b)

teorema-nilai-rata1



Contoh 8

Andaikan f(x) = x3 –x2 –x +1 pada [ 0,3], cari semua bilangan c yang memenuhi kesimpulan terhadap teorema nilai-nilai rata.

Penyelesaian

F(x)= x3-x2-x+1

F’(x)= 3x2-2x-1

F(0)= (0)3 – (0)2 – 0+1

= 1

F(3)= (3)3 – (3)2 – 3 + 1

= 27 – 9 – 2

= F’(c)
=- f(b) – f(a) / b-a

= – 17/15

F’(x)= 3x2 -2x -1

F’(c)= 3c2 – 2c- 1

3c2 – 2c – 1= – 17/15

45c2 – 30c – 15 = 17

45c2 – 30c -32 = 0

C1,2 = -b±√b2- 4ac/ 2a

= 30±√900 – 4(45)(-32)/ 2(45)

= 30±√900 + 6760/ 90

= 30±√7660/90

= 30±87,5 /90

C1 = 30±87,5 / 90 C2= 30-87,5 / 90 = – 0,6

= 117,5/90 =1,3

Jadi c yang memenuhi kesimpulan terhadap teorema nilai rata-rata adalah x = 1,3

Post a Comment

 
Top